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Gráficos das partes real (a vermelho) e imaginária (a azul) da linha crítica da função zeta de Riemann.

A hipótese de Riemann é uma hipótese (ou conjectura) matemática, publicada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann, que declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann pertencem todos à "linha crítica":

\sigma = \mathbb{R}[s] = 1/2

onde \mathbb{R}[s] denota a parte real de s.

Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares:  \{-2,-4,-6,...\}.

A hipótese de Riemann sobre os números primos é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem prová-lo.

Relação com números primos[editar | editar código-fonte]

Por razões mais profundas, o problema está relacionado com várias questões sutis envolvendo os números primos. Por exemplo: se p_k denota o k-ésimo número primo (de modo que p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7, p_5 = 11 e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabelece que a diferença entre dois números primos consecutivos, p_{k+1} - p_k, cresce "na mesma velocidade" que \sqrt{p_k}\log(p_k). Mais especificamente, existe uma constante real positiva M > 0 de maneira que vale a desigualdade

 p_{k+1} - p_k < M(\sqrt{p_k}\log(p_k))

para todo k suficientemente grande. Para provar este resultado, a demonstração de Cramer utilizou crucialmente a Hipótese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princípio ser falso, caso a Hipótese também seja.

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